A jövőre a Toro Rosso színeiben bemutatkozó Daniil Kvjat 1994. április 26-án született, s nyolc éves korában találkozott először a versenyzéssel, természetesen a gokarttal. Versenyzői karrierje 2005-ben kezdődött, s egy évvel később családjával együtt Rómába költözött, ahol a helyi focicsapat, az AS Roma lelkes szurkolója lett.
Gokartos karrierje töretlenül folytatódott, 2008-ban és 2009-ben harmadik lett a KF3 Európa-bajnokságban, s második az ázsiai sorozatban. A Red Bull támogatásával kezdhette meg formulaautós karrierjét, első versenye a 2010-es Maláj Nagydíj betétfutamaként szolgáló Formula BMW Pacific-futam volt. Nyolc versenyt futott a szériában öt dobogót, közte két győzelmet ért el. Az európai sorozatban tizedik lett, az idényzárón a második helyen ért célba.
Télen már Formula Renault-sorozatokban szerepelt az akkor még csak 16 éves Kvjat, és emellett ellátogatott az új-zélandi Toyota Racing Series versenyeire is. 2011-ben kétliteres Formula Renault-kkal versenyzett, párhuzamosan szerepelt a WSR-hez tartozó európai, valamint az attól független észak-európai (NEC) sorozatban, előbbiben a harmadik, utóbbiban a második helyet szerezte meg, mindkettőben kikapott a szintén a Red Bullhoz tartozó Carlos Sainz Jr.-tól
Kvjat 2012-ben szintén Formula Renault-sorozatokban szerepelt, az európai kétliteres szériában második lett Stoffel Vandoorne mögött, annak ellenére, hogy a versenyek felét megnyerte. A Formula Renault 2.0 Alps-sorozatban viszont győzni tudott, nagy csatát vívva a francia Norman Natóval.
Az idei évet Kvjat a GP3-as bajnokságban töltötte a Christian Horner és Mark Webber tulajdonában lévő MW Arden színeiben, s az Abu Dhabiban rendezett idényzáró előtt a második helyen áll az összetettben. Emellett az FIA F3-as Európa-bajnokságának számos hétvégéjén szerepelt vendégpilótaként, ahol 21 versenyen öt pole-t, hét dobogót és egy futamgyőzelmet szerzett.
Kvjat emellett egy ízben már F1-es autót is vezethetett, a 2013-as fiatal versenyzők tesztjén 16 gyors kört tehetett meg Silverstone-ban a Toro Rosso színeiben.
